Amikor a tévedés repülőgépekbe és emberéletekbe kerül

Posted by in Mindennapi módszertan

Email to someoneShare on FacebookGoogle+share on TumblrTweet about this on TwitterPin on PinterestShare on LinkedInPrint this page

A cikk inspirációját Jordan Ellenberg “Hogy ne tévedjünk” c. könyvének előszava adta

A mindennapi életünkben sokkal többször találkozunk statisztikai, és valószínűségszámítási kérdésekkel, mint gondolnánk. Ami még inkább meglepő, hogy valószínűleg elég sokszor ítéljük meg tévesen ezeket a kérdéseket. A közgazdaságtan gyakorlása során is gyakran használt módszerek pedig bármely élethelyzetben segíthetnek, hogy helyesen döntsünk.

Kezdjük egy bonyolult problémával. Képzeljük el, hogy statisztikusok vagyunk a II. Világháború idején, és azzal bíznak meg minket, hogy állapítsuk meg a páncélzat optimális vastagságát a vadászgépeken. Bár ritkán gondolunk hősként a tudósokra, de eredményeik nagyban meghatározhatják egy háború kimenetelét.

A technológia fejlődésével egyre fontosabbá vált a hadviselésben is a rendelkezésre álló erőforrások mennyisége, illetve azok hatékony felhasználása. A modern háborút végső soron az nyeri, aki több erőforrással rendelkezik, vagy azokat hatékonyabban használja fel. A repülőgép páncélzata nehézzé teszi a gépet, ami miatt megnő a fogyasztása (és romlik a manőverezőképessége is). Tehát egy feleslegesen vastag borítás könnyen a háború megnyerésébe kerülhet kiegyenlített erőviszonyok mellett, hiszen az ellenségünk hatékonyabban használja az üzemanyagkészleteit. A túl üzemanyagtakarékos páncélzat pedig amellett, hogy a pilotákat is veszélynek teszi ki a drága repülőgépek árán keresztül bőven túltesz a megspórolt üzemanyagon. De hogyan is gondolkodjunk?

Nézzünk meg ehhez egy másik egyszerűbb példát. Sajnálatos módon egy nagyon pontos teszt (amely 99%-ban nem hibázik) azt az eredményt hozza, hogy súlyos betegségben szenvedünk. Mennyi a valószínűsége, hogy tényleg betegek vagyunk? A válasz sajnos (szerencsére!) nem a kézenfekvő 99%. Az esélyünk, hogy a teszt tévedett nagyban függ attól, hogy a betegség mennyire gyakori a teljes népesség körében. Például, ha a betegség a népesség 2%-át érinti, akkor az esélyünk arra, hogy tényleg betegek vagyunk valamivel kevesebb, mint 67%, ami felüdülést okozhat a 99%-hoz képest. Ha nem hiszi, járjon utána.

Na de hogy jön ez a repülők páncélzatához? Lássuk ehhez Wald Ábrahám hogyan oldotta meg a problémát. Az USA-ba emigrált magyar származású matematikus a bevetésről visszatérő gépeken található golyó ütötte lyukak eloszlását vizsgálta a repülőgépeken. Azt figyelte meg, hogy bizonyos helyeken sokkal több lyuk található, mint máshol. A repülőgép törzsén átlagosan jóval több golyónyomot számlált, mint a hajtómű, vagy az üzemanyagtartály környékén. Mire következtetnénk ebből?

Sajnos a kézenfekvő válasz most sem a legjobb. Wald azt javasolta, hogy azokon a helyeken kell megerősíteni a páncélt, ahol a legkevesebb lyuk van. Ez elsőre talán furcsának tűnhet, azonban gondoljuk végig, Wald milyen repülőgépeket vizsgált. Pontosabban milyeneket nem: amelyek nem tértek vissza a bevetésről. Ha azt feltételezzük, hogy a lövedékek nagyjából egyenlő eséllyel találják el a repülőgép különböző pontjait, akkor teljesen logikus, hogy ahol kevesebb lyukat találunk, valójában azok a repülőgép gyenge pontjai. Hiszen azokat a gépeket, amelyeket ott ért találat, kisebb eséllyel tértek vissza. Ezért ezeket a részeket kell erős páncéllal megvédeni, hogy a lehető legtöbb emberéletet és drága repülőgépet óvjuk meg.

Milyen hibát nem követett el Wald? Nem feltételezte azt, hogy a gépek, amiket vizsgál az összes bevetésre indult gép véletlen mintáját alkotják. Tudta, hogy strukturálisan torzított a minta, amit vizsgál, hiszen csak a visszatérő gépeket látja. Ezt nevezzük túlélési torzításnak. Az egyszerű példa ezzel annyiban volt analóg, hogy mi is egy strukturálisan torzított mintát (a pozitív teszteredmények mintáját, ahol 67% a betegség valószínűsége) vizsgáltuk a teljes sokaságon belül. A teljes népesség körében 99%-os volt a teszt pontossága, azonban pozitív teszteredmények esetén a betegség valószínűsége már nagyban függ attól, hogy mennyire gyakori a betegség egyébként a teljes népességben. Fontos, hogy a minta, amit látunk a sokaságot milyen mértékben és feltevések mellett reprezentálja. Vagyis kell, hogy legyen valamilyen előzetes hitünk (ez hitnél sok esetben nem több!) a nagy eloszlásról, amit vizsgálunk. Ilyen hit az is, hogy csak a visszatérő gépeket látja Wald Ábrahám, de ez ebben az esetben tény.

A kékkel jelölt részek a hajtóművek, a pilótafülke és az üzemanyagtartály a gép farkához közel.

A kérdés el is vezetett minket korunk két szembenálló statisztikai paradigmájához: a frekventista és a bayesiánus megközelítéshez. A bayes-i paradigma abban különbözik a frekventistától, hogy a sokaságról való információt (a visszatérő gépek csak a túlélők, a betegség a népesség 2%-ánál fordul elő) is felhasználja a becslése megalkotásához, így van arról elképzelése, hogy a minta, amit lát (a visszatérő gépek golyó ütötte lyukai, illetve a pozitív teszteredményünk) esetlegesen milyen torzítások mellett jöhetett ki a sokaságból. A frekventista ezzel szemben valamilyen sokaság torzítatlan, véletlen mintájaként értelmezi, amit lát. Az iskolában statisztika órán jellemzően ezt a megközelítést tanuljuk.

A frekventista megközelítést a gépeken golyó ütötte lyukak kapcsán akkor lehetne alkalmazni, ha véletlenszerűen vizsgálnánk lelőtt, és túlélő gépeket egyaránt. Az igazán érdekes azonban itt is az lenne, ha összehasonlítanánk a két különböző sorsú gépeket: miben különbözik a golyó ütötte lyukak mintázata a lelőtt, és a túlélő gépeken? A törzsen valószínűleg hasonló mennyiségű lyukat fogunk látni, viszont az üzemanyagtartálynál és a hajtóműnél csak a lelőtt gépeken lesznek sérülések. Persze ilyen vizsgálatot a valóságban ritkábban tudunk végezni.

A mindennapi életünk könnyed problémáihoz viszont általában sokat segíthet egy csipet bayes-i megközelítés. Például gondoljunk arra, hogy nem találjuk otthon a telefonunkat, ezért megcsörgetjük. Halljuk, hogy a csörgés a konyhából jön, hogyan álljunk neki a keresésnek? A frekventista egyszerűen a lehető legjobban megpróbálná meghatározni, honnan szól a csörgés, majd szisztematikusan átnézné annak környezetét. A bayesiánus ezzel szemben kombinálná a hallott hangot azzal az információval, hogy hova szokta rakni a telefonját, és ott kezdené a keresést, ami ezek alapján a legvalószínűbb hely. Ahova soha nem rakom a telefonom, ott valószínűleg most sem hagytam, még ha pillanatnyilag onnan is vélem hallani a csörgést.

A frekventista megközelítés uralkodása elsősorban egyszerűségének köszönhető. Kevesebb számítással, egzaktabb eredményeket kapunk általa: míg 2 frekventista mindig ugyanarra a következtetésre jut, ha helyesen dolgoznak, bayes-i vizsgálatok vezethetnek eltérő eredményre. Más feltételezésekkel indulhattak a sokaság eloszlására vonatkozóan! Ez pedig egy lényeges különbség: a frekventista vizsgálat végén kiderül, hogy a hipotézised igaz, vagy sem, míg a bayes-i vizsgálat oda vezet, hogy megerősíti, esetleg árnyalja előzetes hitünket.

A megfogalmazható tanács pedig az, hogy mindig vegyük figyelembe, hogy amit látunk, az egy mintája a sokaságnak, és a legtöbb esetben annak nem is véletlen mintája. Következtetéseket tehát ennek tudatában érdemes levonnunk. Általánosítani csak meglehetősen szigorú feltételek mellett lehetséges. Ennek tudatában biztosan kevesebbet tévedünk majd.

Wald Ábrahám is szerette, ha igaza van